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  <title>数据库范式 | xieyuanhui的笔记</title>
  












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        <p>原文地址：数据库第一二三范式到底在说什么？ - 刘慰的文章 - 知乎<br><a href="https://zhuanlan.zhihu.com/p/20028672" target="_blank" rel="noopener">https://zhuanlan.zhihu.com/p/20028672</a></p>
<p>这篇文章来自于我的一个回答，内容进行了少量调整，并补充了几个习题。为简单起见，并不非常严谨地区分 “关系” 和 “数据表” 的概念。</p>
<p>首先要明白”范式（NF）”是什么意思。按照经典教材——王珊的《数据库系统概论》中的定义，范式是 “符合某一种级别的关系模式的集合，表示一个关系内部各属性之间的联系的合理化程度”。很晦涩吧？实际上你可以把它粗略地理解为<strong>一张数据表的表结构所符合的某种设计标准的级别</strong>。就像家里装修买建材，最环保的是E0级，其次是E1级，还有E2级等等。数据库范式也分为1NF，2NF，3NF，BCNF，4NF，5NF。一般在我们设计关系型数据库的时候，最多考虑到BCNF就够。符合高一级范式的设计，必定符合低一级范式，如符合2NF的关系模式，必定符合1NF。</p>
<h3 id="第一范式"><a href="#第一范式" class="headerlink" title="第一范式"></a>第一范式</h3><p>接下来就对每一级范式进行一下解释，首先是<strong>第一范式（1NF）。</strong></p>
<p>符合1NF的关系（你可以把“关系”理解为数据表。此外还有一个“关系模式”的概念。“关系”和“关系模式”的区别，类似于面向对象程序设计中”类“与”对象“的区别。”关系“是”关系模式“的一个实例，你可以把”关系”理解为一张带数据的表，而“关系模式”是这张数据表的表结构。<strong>1NF的定义为：符合1NF的关系中的每个属性都不可再分。表1</strong>所示的情况，就不符合1NF的要求。</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img1.jpg" alt="表1"></p>
<p>实际上，<strong>1NF是所有关系型数据库的最基本要求</strong>，你在关系型数据库管理系统（RDBMS），例如SQL Server，Oracle，MySQL中创建数据表的时候，如果数据表的设计不符合这个最基本的要求，那么操作一定是不能成功的。也就是说，只要在RDBMS中已经存在的数据表，一定是符合1NF的。如果我们要在RDBMS中表现表中的数据，就得设计为<strong>表2</strong>的形式：</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img2.jpg" alt="表2"></p>
<p>但是仅仅符合1NF的设计，仍然会存在数据冗余过大，插入异常，删除异常，修改异常的问题，例如对于<strong>表3</strong>中的设计：</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img3.jpg" alt="表3"></p>
<ol>
<li><p>每一名学生的学号、姓名、系名、系主任这些数据重复多次。每个系与对应的系主任的数据也重复多次——<strong>数据冗余过大</strong></p>
</li>
<li><p>假如学校新建了一个系，但是暂时还没有招收任何学生（比如3月份就新建了，但要等到8月份才招生），那么是无法将系名与系主任的数据单独地添加到数据表中去的 （注１）——<strong>插入异常</strong></p>
<p>注１：根据三种关系完整性约束中实体完整性的要求，关系中的码（注２）所包含的任意一个属性都不能为空，所有属性的组合也不能重复。为了满足此要求，图中的表，只能将学号与课名的组合作为码，否则就无法唯一地区分每一条记录。</p>
<p>注２：<strong>码：关系中的某个属性或者某几个属性的组合，用于区分每个元组</strong>（可以把“元组”理解为一张表中的每条记录，也就是每一行）<strong>。</strong></p>
</li>
<li><p>假如将某个系中所有学生相关的记录都删除，那么所有系与系主任的数据也就随之消失了（一个系所有学生都没有了，并不表示这个系就没有了）。——<strong>删除异常</strong></p>
</li>
<li><p>假如李小明转系到法律系，那么为了保证数据库中数据的一致性，需要修改三条记录中系与系主任的数据。——<strong>修改异常</strong>。</p>
</li>
</ol>
<p>正因为仅符合1NF的数据库设计存在着这样那样的问题，我们需要提高设计标准，去掉导致上述四种问题的因素，使其符合更高一级的范式（2NF），这就是所谓的“规范化”。</p>
<h3 id="第二范式"><a href="#第二范式" class="headerlink" title="第二范式"></a>第二范式</h3><p><strong>第二范式（2NF）</strong>在关系理论中的严格定义我这里就不多介绍了（因为涉及到的铺垫比较多），只需要了解2NF对1NF进行了哪些改进即可。其改进是，<strong>2NF在1NF的基础之上，消除了非主属性对于码的部分函数依赖</strong>。接下来对这句话中涉及到的四个概念——<strong>“函数依赖”</strong>、<strong>“码”</strong>、<strong>“非主属性”</strong>、与<strong>“部分函数依赖”</strong>进行一下解释。</p>
<h4 id="函数依赖"><a href="#函数依赖" class="headerlink" title="函数依赖"></a><strong>函数依赖</strong></h4><p>我们可以这么理解（但并不是特别严格的定义）：<strong>若在一张表中，在属性（或属性组）X的值确定的情况下，必定能确定属性Y的值，那么就可以说Y函数依赖于X，写作 X → Y</strong>。也就是说，在数据表中，不存在任意两条记录，它们在X属性（或属性组）上的值相同，而在Y属性上的值不同。这也就是“函数依赖”名字的由来，类似于函数关系 y = f(x)，在x的值确定的情况下，y的值一定是确定的。</p>
<p>例如，对于表3中的数据，找不到任何一条记录，它们的学号相同而对应的姓名不同。所以我们可以说<strong>姓名函数依赖于学号</strong>，写作 <strong>学号 → 姓名</strong>。但是反过来，因为可能出现同名的学生，所以有可能不同的两条学生记录，它们在姓名上的值相同，但对应的学号不同，所以我们不能说学号函数依赖于姓名。表中其他的函数依赖关系还有如：</p>
<ul>
<li>系名 → 系主任</li>
<li>学号 → 系主任</li>
<li>（学号，课名） → 分数</li>
</ul>
<p>但以下函数依赖关系则不成立：</p>
<ul>
<li>学号 → 课名</li>
<li>学号 → 分数</li>
<li>课名 → 系主任</li>
<li>（学号，课名） → 姓名</li>
</ul>
<p>从“函数依赖”这个概念展开，还会有三个概念：</p>
<h4 id="完全函数依赖"><a href="#完全函数依赖" class="headerlink" title="完全函数依赖"></a><strong>完全函数依赖</strong></h4><p>在一张表中，若 X → Y，且对于 X 的任何一个真子集（假如属性组 X 包含超过一个属性的话），X ‘ → Y 不成立，那么我们称 Y 对于 X <strong>完全函数依赖</strong>，记作 X F→ Y。（那个F应该写在箭头的正上方，没办法打出来……，正确的写法如<strong>图1</strong>）</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img4.jpg" alt="图1"></p>
<p>例如： </p>
<ul>
<li>学号 F→ 姓名 </li>
<li>（学号，课名） F→ 分数 （注：因为同一个的学号对应的分数不确定，同一个课名对应的分数也不确定）</li>
</ul>
<h4 id="部分函数依赖"><a href="#部分函数依赖" class="headerlink" title="部分函数依赖"></a><strong>部分函数依赖</strong></h4><p>假如 Y 函数依赖于 X，但同时 Y 并不完全函数依赖于 X，那么我们就称 Y 部分函数依赖于 X，记作 X P→ Y，如<strong>图2</strong>。</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img5.jpg" alt="图2"></p>
<p>例如：</p>
<ul>
<li>（学号，课名） P→ 姓名</li>
</ul>
<h4 id="传递函数依赖"><a href="#传递函数依赖" class="headerlink" title="传递函数依赖"></a><strong>传递函数依赖</strong></h4><p>假如 Z 函数依赖于 Y，且 Y 函数依赖于 X （严格来说还有一个X 不包含于Y，且 Y 不函数依赖于Z的前提条件），那么我们就称 Z 传递函数依赖于 X ，记作 X T→ Z，如<strong>图3</strong>。</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img6.jpg" alt="图3"></p>
<h4 id="码"><a href="#码" class="headerlink" title="码"></a><strong>码</strong></h4><p>设 K 为某表中的一个属性或属性组，若除 K 之外的所有属性都完全函数依赖于 K（这个“完全”不要漏了），那么我们称 K 为候选码，简称为码。在实际中我们通常可以理解为：假如当 K 确定的情况下，该表除 K 之外的所有属性的值也就随之确定，那么 K 就是码。一张表中可以有超过一个码。（实际应用中为了方便，通常选择其中的一个码作为主码） </p>
<p>例如：</p>
<p>对于表3，（学号、课名）这个属性组就是码。该表中有且仅有这一个码。（假设所有课没有重名的情况）</p>
<h4 id="主属性"><a href="#主属性" class="headerlink" title="主属性"></a><strong>主属性</strong></h4><p>包含在任意一个码中的属性称为主属性。</p>
<h4 id="非主属性"><a href="#非主属性" class="headerlink" title="非主属性"></a><strong>非主属性</strong></h4><p>不包含在任何一个码中的属性称为非主属性。</p>
<p>例如：<br>对于表3，主属性就有两个，<strong>学号</strong> 与 <strong>课名</strong>。其余的属性都是非主属性。<br>终于可以回过来看2NF了。首先，我们需要判断，表3是否符合2NF的要求？根据2NF的定义，判断的依据实际上就是看数据表中<strong>是否存在非主属性对于码的部分函数依赖</strong>。若存在，则数据表最高只符合1NF的要求，若不存在，则符合2NF的要求。判断的方法是：</p>
<p>第一步：找出数据表中所有的<strong>码</strong>。<br>第二步：根据第一步所得到的码，找出所有的<strong>主属性</strong>。<br>第三步：数据表中，除去所有的主属性，剩下的就都是<strong>非主属性</strong>了。<br>第四步：查看是否存在非主属性对码的<strong>部分函数依赖</strong>。</p>
<p>对于表3，根据前面所说的四步，我们可以这么做：<br>第一步：</p>
<ol>
<li>查看所有每一单个属性，当它的值确定了，是否剩下的所有属性值都能确定。</li>
<li>查看所有包含有两个属性的属性组，当它的值确定了，是否剩下的所有属性值都能确定。</li>
<li>……</li>
<li>查看所有包含了六个属性，也就是所有属性的属性组，当它的值确定了，是否剩下的所有属性值都能确定。</li>
</ol>
<p>看起来很麻烦是吧，但是这里有一个诀窍，就是假如A是码，那么所有包含了A的属性组，如（A，B）、（A，C）、（A，B，C）等等，都不是码了（因为作为码的要求里有一个“<strong>完全</strong>函数依赖”）。</p>
<p><strong>图4</strong>表示了表中所有的函数依赖关系：</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img7.jpg" alt="图4"></p>
<p>这一步完成以后，可以得到，表3的码只有一个，就是<strong>（学号、课名</strong>）。</p>
<p>第二步：<br>主属性有两个：<strong>学号</strong> 与 <strong>课名</strong></p>
<p>第三步：<br>非主属性有四个：<strong>姓名</strong>、<strong>系名</strong>、<strong>系主任</strong>、<strong>分数</strong><br><strong>第四步：</strong><br>对于<strong>（学号，课名） → 姓名</strong>，有 <strong>学号 → 姓名</strong>，存在非主属性 <strong>姓名</strong> 对码<strong>（学号，课名）</strong>的部分函数依赖。<br>对于<strong>（学号，课名） → 系名</strong>，有 <strong>学号 → 系名</strong>，存在非主属性 系<strong>名</strong> 对码<strong>（学号，课名）</strong>的部分函数依赖。<br>对于<strong>（学号，课名） → 系主任</strong>，有 <strong>学号 → 系主任</strong>，存在非主属性 对码<strong>（学号，课名）</strong>的部分函数依赖。</p>
<p>所以表3存在非主属性对于码的部分函数依赖，最高只符合1NF的要求，不符合2NF的要求。</p>
<p>为了让表3符合2NF的要求，我们必须消除这些部分函数依赖，只有一个办法，就是将大数据表拆分成两个或者更多个更小的数据表，在拆分的过程中，要达到更高一级范式的要求，这个过程叫做”模式分解“。模式分解的方法不是唯一的，以下是其中一种方法：<br>选课（学号，课名，分数）<br>学生（学号，姓名，系名，系主任）</p>
<p>我们先来判断以下，<strong>选课</strong>表与<strong>学生</strong>表，是否符合了2NF的要求？</p>
<p>对于<strong>选课</strong>表，其码是<strong>（学号，课名）</strong>，主属性是<strong>学号</strong>和<strong>课名</strong>，非主属性是<strong>分数</strong>，<strong>学号</strong>确定，并不能唯一确定<strong>分数</strong>，<strong>课名</strong>确定，也不能唯一确定<strong>分数</strong>，所以不存在非主属性<strong>分数</strong>对于码 <strong>（学号，课名）</strong>的部分函数依赖，所以此表符合2NF的要求。</p>
<p>对于<strong>学生</strong>表，其码是<strong>学号，</strong>主属性是<strong>学号</strong>，非主属性是<strong>姓名、系名</strong>和<strong>系主任</strong>，因为码只有一个属性，所以不可能存在非主属性对于码 的部分函数依赖，所以此表符合2NF的要求。</p>
<p><strong>图5</strong>表示了模式分解以后的新的函数依赖关系</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img8.jpg" alt="图5"></p>
<p>表4表示了模式分解以后新的数据</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img9.jpg" alt="表4"></p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img10.jpg" alt="表4"></p>
<p>（这里还涉及到一个如何进行模式分解才是正确的知识点，先不介绍了）</p>
<p>现在我们来看一下，进行同样的操作，是否还存在着之前的那些问题？</p>
<ol>
<li><p>李小明转系到法律系</p>
<p>只需要修改一次李小明对应的系的值即可。——有改进</p>
</li>
<li><p>数据冗余是否减少了？<br>学生的姓名、系名与系主任，不再像之前一样重复那么多次了。——有改进</p>
</li>
<li><p>删除某个系中所有的学生记录<br>该系的信息仍然全部丢失。——无改进</p>
</li>
<li><p>插入一个尚无学生的新系的信息。<br>因为学生表的码是学号，不能为空，所以此操作不被允许。——无改进</p>
</li>
</ol>
<p>所以说，仅仅符合2NF的要求，很多情况下还是不够的，而出现问题的原因，在于仍然存在非主属性<strong>系主任</strong>对于码<strong>学号</strong>的传递函数依赖。为了能进一步解决这些问题，我们还需要将符合2NF要求的数据表改进为符合3NF的要求。</p>
<h3 id="第三范式（3NF）"><a href="#第三范式（3NF）" class="headerlink" title="第三范式（3NF）"></a><strong>第三范式（3NF）</strong></h3><p><strong>3NF在2NF的基础之上，消除了非主属性对于码的传递函数依赖</strong>。也就是说， 如果存在非主属性对于码的传递函数依赖，则不符合3NF的要求。</p>
<p>接下来我们看看表4中的设计，是否符合3NF的要求。</p>
<p>对于<strong>选课</strong>表，主码为（学号，课名），主属性为<strong>学号</strong>和<strong>课名，</strong>非主属性只有一个，为分数，不可能存在传递函数依赖，所以<strong>选课</strong>表的设计，符合3NF的要求。</p>
<p>对于<strong>学生</strong>表，主码为<strong>学号</strong>，主属性为<strong>学号</strong>，非主属性为<strong>姓名</strong>、<strong>系名</strong>和<strong>系主任</strong>。因为 学号 → 系名，同时 系名 → 系主任，所以存在非主属性<strong>系主任</strong>对于码<strong>学号</strong>的传递函数依赖，所以<strong>学生</strong>表的设计，不符合3NF的要求。。</p>
<p>为了让数据表设计达到3NF，我们必须进一步进行模式分解为以下形式：<br>选课（学号，课名，分数）<br>学生（学号，姓名，系名）<br>系（系名，系主任）</p>
<p>对于<strong>选课</strong>表，符合3NF的要求，之前已经分析过了。</p>
<p>对于<strong>学生</strong>表，码为<strong>学号</strong>，主属性为<strong>学号</strong>，非主属性为<strong>系名</strong>，不可能存在非主属性对于码的传递函数依赖，所以符合3NF的要求。</p>
<p>对于<strong>系</strong>表，码为<strong>系名</strong>，主属性为<strong>系名</strong>，非主属性为<strong>系主任</strong>，不可能存在非主属性对于码的传递函数依赖（至少要有三个属性才可能存在传递函数依赖关系），所以符合3NF的要求。。</p>
<p>新的函数依赖关系如图6</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img11.jpg" alt="图6"></p>
<p>新的数据表如表5</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img12.jpg" alt="表5"></p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img13.jpg" alt="表5"></p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img14.jpg" alt="表5"></p>
<p>现在我们来看一下，进行同样的操作，是否还存在着之前的那些问题？</p>
<ol>
<li>删除某个系中所有的学生记录<br>该系的信息不会丢失。——有改进</li>
<li>插入一个尚无学生的新系的信息。<br>因为系表与学生表目前是独立的两张表，所以不影响。——有改进</li>
<li>数据冗余更加少了。——有改进</li>
</ol>
<p><strong>结论</strong><br>由此可见，符合3NF要求的数据库设计，<strong>基本</strong>上解决了数据冗余过大，插入异常，修改异常，删除异常的问题。当然，在实际中，往往为了性能上或者应对扩展的需要，经常 做到2NF或者1NF，但是作为数据库设计人员，至少应该知道，3NF的要求是怎样的。</p>
<h3 id="BCNF范式"><a href="#BCNF范式" class="headerlink" title="BCNF范式"></a><strong>BCNF范式</strong></h3><p>要了解 BCNF 范式，那么先看这样一个问题：<br>若：</p>
<ol>
<li>某公司有若干个仓库；</li>
<li>每个仓库只能有一名管理员，一名管理员只能在一个仓库中工作；</li>
<li>一个仓库中可以存放多种物品，一种物品也可以存放在不同的仓库中。每种物品在每个仓库中都有对应的数量。</li>
</ol>
<p>那么关系模式 仓库（仓库名，管理员，物品名，数量） 属于哪一级范式？</p>
<p>答：已知函数依赖集：仓库名 → 管理员，管理员 → 仓库名，（仓库名，物品名）→ 数量<br>码：（管理员，物品名），（仓库名，物品名）<br>主属性：仓库名、管理员、物品名<br>非主属性：数量<br>∵ 不存在非主属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖。∴ 此关系模式属于3NF。</p>
<p>基于此关系模式的关系（具体的数据）可能如图所示：</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img15.jpg" alt></p>
<p>好，既然此关系模式已经属于了 3NF，那么这个关系模式是否存在问题呢？我们来看以下几种操作：</p>
<ol>
<li>先新增加一个仓库，但尚未存放任何物品，是否可以为该仓库指派管理员？——不可以，因为物品名也是主属性，根据实体完整性的要求，主属性不能为空。</li>
<li>某仓库被清空后，需要删除所有与这个仓库相关的物品存放记录，会带来什么问题？——仓库本身与管理员的信息也被随之删除了。</li>
<li>如果某仓库更换了管理员，会带来什么问题？——这个仓库有几条物品存放记录，就要修改多少次管理员信息。</li>
</ol>
<p>从这里我们可以得出结论，在某些特殊情况下，即使关系模式符合 3NF 的要求，仍然存在着插入异常，修改异常与删除异常的问题，仍然不是 ”好“ 的设计。</p>
<p>造成此问题的原因：存在着<strong>主属性</strong>对于码的部分函数依赖与传递函数依赖。（在此例中就是存在主属性【仓库名】对于码【（管理员，物品名）】的部分函数依赖。</p>
<p>解决办法就是要在 3NF 的基础上消除<strong>主属性</strong>对于码的部分与传递函数依赖。</p>
<p>仓库（仓库名，管理员）<br>库存（仓库名，物品名，数量）</p>
<p>这样，之前的插入异常，修改异常与删除异常的问题就被解决了。</p>
<p>以上就是关于 BCNF 的解释。</p>
<h1 id="几个典型习题及其解答吧。"><a href="#几个典型习题及其解答吧。" class="headerlink" title="几个典型习题及其解答吧。"></a>几个典型习题及其解答吧。</h1><p>问题1：</p>
<p><a href="http://www.zhihu.com/people/li-de-zhu-84" target="_blank" rel="noopener">李德竹</a> ：老师您好，我看了您关于数据库范式的回答，有一点不太理解，就是关于码的定义，如果除K之外的所有属性都完全函数依赖于K时才能称K为码，那么在判断2NF时又怎么会存在非主属性对码的部分函数依赖这种情况？希望老师有时间能指点一下，谢谢</p>
<p>我 ：在“码”的定义中，除 K 之外的所有属性应该看成是一个集合 U（也就是一个整体），也就是说，只有 K 能够完全函数决定 U 中的每一个属性，那么 K 才是码。如果 K 只是能够完全函数决定 U 中的一部分属性，而不能完全函数决定另外一部分属性，那么 K 不是码。</p>
<p>比如有关系模式 R (Sno, Sname, Cno, Cname, Sdept, Sloc, Grade)，其中函数依赖集为 F= {Sno → Sname, Sno → Sdept, Sdept → Sloc，Sno → Sloc, Cno → Cname, (Sno, Cno) → Grade }</p>
<p>那么 R 中的码只能是 (Sno, Cno)，Sno 或 Cno 并不能完全函数决定除 Sno / Cno 之外的所有其他属性（其实就是不能决定 Grade )，所以单独的 Sno 与 Cno 并不能作为码。</p>
<p>所以可得到主属性：Sno, Cno</p>
<p>非主属性：Sname, Cname, Sdept, Sloc, Grade</p>
<p>R 中存在非主属性 Cname 对于码 (Sno, Cno) 的部分函数依赖 (Cno → Cname) 。（还有很多别的例子就不一一列举了）。所以 R 不符合 2NF 的要求。</p>
<p>===================================<br>问题2：</p>
<p>（推导过程比较复杂，直接在 SP3 上手写了，请忽略难看的字。）</p>
<p>已知有关系模式 R(A, B, C, D)，已知有函数依赖集：{(A, B)→C, C→D  D→A}，问关系模式 R 最高支持第几范式？</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img16.jpg" alt></p>
<p>====================================</p>
<p>问题3：</p>
<p>已知有关系模式R(A, B, C, D)，已知有函数依赖集：{A→B, A→C, A→ D, B→D, (B, C)→A }。问关系模式 R 最高支持第几范式？</p>
<p><img src="/xieyuanhui/2019/08/09/数据库范式/img17.jpg" alt></p>

      
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    </span>
    
      <span class="post-meta-item-text">站点阅读时长 &asymp;</span>
    
    <span title="站点阅读时长">11:21</span>
  
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  <div class="powered-by">由 <a href="https://hexo.io" class="theme-link" rel="noopener" target="_blank">Hexo</a> 强力驱动 v3.8.0</div>



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  <div class="theme-info">主题 – <a href="https://theme-next.org" class="theme-link" rel="noopener" target="_blank">NexT.Pisces</a> v7.1.0</div>


<div><span id="sitetime"></span>
<script language="javascript">
  function siteTime(){
    window.setTimeout("siteTime()", 1000);
    var seconds = 1000;
    var minutes = seconds * 60;
    var hours = minutes * 60;
    var days = hours * 24;
    var years = days * 365;
    var today = new Date();
    var todayYear = today.getFullYear();
    var todayMonth = today.getMonth()+1;
    var todayDate = today.getDate();
    var todayHour = today.getHours();
    var todayMinute = today.getMinutes();
    var todaySecond = today.getSeconds();
    /* Date.UTC() -- 返回date对象距世界标准时间(UTC)1970年1月1日午夜之间的毫秒数(时间戳)
    year - 作为date对象的年份，为4位年份值
    month - 0-11之间的整数，做为date对象的月份
    day - 1-31之间的整数，做为date对象的天数
    hours - 0(午夜24点)-23之间的整数，做为date对象的小时数
    minutes - 0-59之间的整数，做为date对象的分钟数
    seconds - 0-59之间的整数，做为date对象的秒数
    microseconds - 0-999之间的整数，做为date对象的毫秒数 */
    var t1 = Date.UTC(2019,04,09,15,00,00); //北京时间2018-2-13 00:00:00
    var t2 = Date.UTC(todayYear,todayMonth,todayDate,todayHour,todayMinute,todaySecond);
    var diff = t2-t1;
    var diffYears = Math.floor(diff/years);
    var diffDays = Math.floor((diff/days)-diffYears*365);
    var diffHours = Math.floor((diff-(diffYears*365+diffDays)*days)/hours);
    var diffMinutes = Math.floor((diff-(diffYears*365+diffDays)*days-diffHours*hours)/minutes);
    var diffSeconds = Math.floor((diff-(diffYears*365+diffDays)*days-diffHours*hours-diffMinutes*minutes)/seconds);
    document.getElementById("sitetime").innerHTML=" xieyuanhui的个人笔记已运行"+/*diffYears+" 年 "+*/diffDays+" 天 "+diffHours+" 小时 "+diffMinutes+" 分钟 "+diffSeconds+" 秒";
  }/*因为建站时间还没有一年，就将之注释掉了。需要的可以取消*/
  siteTime();
</script></div>



<div>

  <div class="theme-info">
    <script async src="//busuanzi.ibruce.info/busuanzi/2.3/busuanzi.pure.mini.js"></script>
    <span id="busuanzi_container_site_pv">本站总访问量<span id="busuanzi_value_site_pv"></span>次</span>
    <span class="post-meta-divider">|</span>
    <span id="busuanzi_container_site_uv">本站访客数<span id="busuanzi_value_site_uv"></span>人</span>
  </div>

</div>

        






  <div>
    <script type="text/javascript">
	    var cnzz_protocol = (("https:" == document.location.protocol) ? "https://" : "http://");
	    document.write(unescape("%3Cspan id='cnzz_stat_icon_1277235632'%3E%3C/span%3E%3Cscript 
	    src='" + cnzz_protocol + "s23.cnzz.com/z_stat.php%3Fid%3D1277235632%26show%3Dpic' 
	    type='text/javascript'%3E%3C/script%3E"));
    </script>
  </div>



        
      </div>
    </footer>

    
      <div class="back-to-top">
        <i class="fa fa-arrow-up"></i>
        
      </div>
    

    
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        <span class="btn">
          <i class="fa fa-share-alt" aria-hidden="true"></i>
        </span>
      </div>
    

    

    
  </div>

  

<script>
  if (Object.prototype.toString.call(window.Promise) !== '[object Function]') {
    window.Promise = null;
  }
</script>












  



  
    
    
  
  <script color="0,0,255" opacity="0.5" zindex="-1" count="99" src="/xieyuanhui/lib/canvas-nest/canvas-nest.min.js"></script>













  
  <script src="/xieyuanhui/lib/jquery/index.js?v=2.1.3"></script>

  
  <script src="/xieyuanhui/lib/velocity/velocity.min.js?v=1.2.1"></script>

  
  <script src="/xieyuanhui/lib/velocity/velocity.ui.min.js?v=1.2.1"></script>

  
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  <script src="/xieyuanhui/js/motion.js?v=7.1.0"></script>



  
  


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  <script src="/xieyuanhui/js/next-boot.js?v=7.1.0"></script>


  

  

  

  


  


  
  <script>
    // Popup Window;
    var isfetched = false;
    var isXml = true;
    // Search DB path;
    var search_path = "search.xml";
    if (search_path.length === 0) {
      search_path = "search.xml";
    } else if (/json$/i.test(search_path)) {
      isXml = false;
    }
    var path = "/xieyuanhui/" + search_path;
    // monitor main search box;

    var onPopupClose = function (e) {
      $('.popup').hide();
      $('#local-search-input').val('');
      $('.search-result-list').remove();
      $('#no-result').remove();
      $(".local-search-pop-overlay").remove();
      $('body').css('overflow', '');
    }

    function proceedsearch() {
      $("body")
        .append('<div class="search-popup-overlay local-search-pop-overlay"></div>')
        .css('overflow', 'hidden');
      $('.search-popup-overlay').click(onPopupClose);
      $('.popup').toggle();
      var $localSearchInput = $('#local-search-input');
      $localSearchInput.attr("autocapitalize", "none");
      $localSearchInput.attr("autocorrect", "off");
      $localSearchInput.focus();
    }

    // search function;
    var searchFunc = function(path, search_id, content_id) {
      'use strict';

      // start loading animation
      $("body")
        .append('<div class="search-popup-overlay local-search-pop-overlay">' +
          '<div id="search-loading-icon">' +
          '<i class="fa fa-spinner fa-pulse fa-5x fa-fw"></i>' +
          '</div>' +
          '</div>')
        .css('overflow', 'hidden');
      $("#search-loading-icon").css('margin', '20% auto 0 auto').css('text-align', 'center');

      

      $.ajax({
        url: path,
        dataType: isXml ? "xml" : "json",
        async: true,
        success: function(res) {
          // get the contents from search data
          isfetched = true;
          $('.popup').detach().appendTo('.header-inner');
          var datas = isXml ? $("entry", res).map(function() {
            return {
              title: $("title", this).text(),
              content: $("content",this).text(),
              url: $("url" , this).text()
            };
          }).get() : res;
          var input = document.getElementById(search_id);
          var resultContent = document.getElementById(content_id);
          var inputEventFunction = function() {
            var searchText = input.value.trim().toLowerCase();
            var keywords = searchText.split(/[\s\-]+/);
            if (keywords.length > 1) {
              keywords.push(searchText);
            }
            var resultItems = [];
            if (searchText.length > 0) {
              // perform local searching
              datas.forEach(function(data) {
                var isMatch = false;
                var hitCount = 0;
                var searchTextCount = 0;
                var title = data.title.trim();
                var titleInLowerCase = title.toLowerCase();
                var content = data.content.trim().replace(/<[^>]+>/g,"");
                
                var contentInLowerCase = content.toLowerCase();
                var articleUrl = decodeURIComponent(data.url).replace(/\/{2,}/g, '/');
                var indexOfTitle = [];
                var indexOfContent = [];
                // only match articles with not empty titles
                if(title != '') {
                  keywords.forEach(function(keyword) {
                    function getIndexByWord(word, text, caseSensitive) {
                      var wordLen = word.length;
                      if (wordLen === 0) {
                        return [];
                      }
                      var startPosition = 0, position = [], index = [];
                      if (!caseSensitive) {
                        text = text.toLowerCase();
                        word = word.toLowerCase();
                      }
                      while ((position = text.indexOf(word, startPosition)) > -1) {
                        index.push({position: position, word: word});
                        startPosition = position + wordLen;
                      }
                      return index;
                    }

                    indexOfTitle = indexOfTitle.concat(getIndexByWord(keyword, titleInLowerCase, false));
                    indexOfContent = indexOfContent.concat(getIndexByWord(keyword, contentInLowerCase, false));
                  });
                  if (indexOfTitle.length > 0 || indexOfContent.length > 0) {
                    isMatch = true;
                    hitCount = indexOfTitle.length + indexOfContent.length;
                  }
                }

                // show search results

                if (isMatch) {
                  // sort index by position of keyword

                  [indexOfTitle, indexOfContent].forEach(function (index) {
                    index.sort(function (itemLeft, itemRight) {
                      if (itemRight.position !== itemLeft.position) {
                        return itemRight.position - itemLeft.position;
                      } else {
                        return itemLeft.word.length - itemRight.word.length;
                      }
                    });
                  });

                  // merge hits into slices

                  function mergeIntoSlice(text, start, end, index) {
                    var item = index[index.length - 1];
                    var position = item.position;
                    var word = item.word;
                    var hits = [];
                    var searchTextCountInSlice = 0;
                    while (position + word.length <= end && index.length != 0) {
                      if (word === searchText) {
                        searchTextCountInSlice++;
                      }
                      hits.push({position: position, length: word.length});
                      var wordEnd = position + word.length;

                      // move to next position of hit

                      index.pop();
                      while (index.length != 0) {
                        item = index[index.length - 1];
                        position = item.position;
                        word = item.word;
                        if (wordEnd > position) {
                          index.pop();
                        } else {
                          break;
                        }
                      }
                    }
                    searchTextCount += searchTextCountInSlice;
                    return {
                      hits: hits,
                      start: start,
                      end: end,
                      searchTextCount: searchTextCountInSlice
                    };
                  }

                  var slicesOfTitle = [];
                  if (indexOfTitle.length != 0) {
                    slicesOfTitle.push(mergeIntoSlice(title, 0, title.length, indexOfTitle));
                  }

                  var slicesOfContent = [];
                  while (indexOfContent.length != 0) {
                    var item = indexOfContent[indexOfContent.length - 1];
                    var position = item.position;
                    var word = item.word;
                    // cut out 100 characters
                    var start = position - 20;
                    var end = position + 80;
                    if(start < 0){
                      start = 0;
                    }
                    if (end < position + word.length) {
                      end = position + word.length;
                    }
                    if(end > content.length){
                      end = content.length;
                    }
                    slicesOfContent.push(mergeIntoSlice(content, start, end, indexOfContent));
                  }

                  // sort slices in content by search text's count and hits' count

                  slicesOfContent.sort(function (sliceLeft, sliceRight) {
                    if (sliceLeft.searchTextCount !== sliceRight.searchTextCount) {
                      return sliceRight.searchTextCount - sliceLeft.searchTextCount;
                    } else if (sliceLeft.hits.length !== sliceRight.hits.length) {
                      return sliceRight.hits.length - sliceLeft.hits.length;
                    } else {
                      return sliceLeft.start - sliceRight.start;
                    }
                  });

                  // select top N slices in content

                  var upperBound = parseInt('1');
                  if (upperBound >= 0) {
                    slicesOfContent = slicesOfContent.slice(0, upperBound);
                  }

                  // highlight title and content

                  function highlightKeyword(text, slice) {
                    var result = '';
                    var prevEnd = slice.start;
                    slice.hits.forEach(function (hit) {
                      result += text.substring(prevEnd, hit.position);
                      var end = hit.position + hit.length;
                      result += '<b class="search-keyword">' + text.substring(hit.position, end) + '</b>';
                      prevEnd = end;
                    });
                    result += text.substring(prevEnd, slice.end);
                    return result;
                  }

                  var resultItem = '';

                  if (slicesOfTitle.length != 0) {
                    resultItem += "<li><a href='" + articleUrl + "' class='search-result-title'>" + highlightKeyword(title, slicesOfTitle[0]) + "</a>";
                  } else {
                    resultItem += "<li><a href='" + articleUrl + "' class='search-result-title'>" + title + "</a>";
                  }

                  slicesOfContent.forEach(function (slice) {
                    resultItem += "<a href='" + articleUrl + "'>" +
                      "<p class=\"search-result\">" + highlightKeyword(content, slice) +
                      "...</p>" + "</a>";
                  });

                  resultItem += "</li>";
                  resultItems.push({
                    item: resultItem,
                    searchTextCount: searchTextCount,
                    hitCount: hitCount,
                    id: resultItems.length
                  });
                }
              })
            };
            if (keywords.length === 1 && keywords[0] === "") {
              resultContent.innerHTML = '<div id="no-result"><i class="fa fa-search fa-5x"></i></div>'
            } else if (resultItems.length === 0) {
              resultContent.innerHTML = '<div id="no-result"><i class="fa fa-frown-o fa-5x"></i></div>'
            } else {
              resultItems.sort(function (resultLeft, resultRight) {
                if (resultLeft.searchTextCount !== resultRight.searchTextCount) {
                  return resultRight.searchTextCount - resultLeft.searchTextCount;
                } else if (resultLeft.hitCount !== resultRight.hitCount) {
                  return resultRight.hitCount - resultLeft.hitCount;
                } else {
                  return resultRight.id - resultLeft.id;
                }
              });
              var searchResultList = '<ul class=\"search-result-list\">';
              resultItems.forEach(function (result) {
                searchResultList += result.item;
              })
              searchResultList += "</ul>";
              resultContent.innerHTML = searchResultList;
            }
          }

          if ('auto' === 'auto') {
            input.addEventListener('input', inputEventFunction);
          } else {
            $('.search-icon').click(inputEventFunction);
            input.addEventListener('keypress', function (event) {
              if (event.keyCode === 13) {
                inputEventFunction();
              }
            });
          }

          // remove loading animation
          $(".local-search-pop-overlay").remove();
          $('body').css('overflow', '');

          proceedsearch();
        }
      });
    }

    // handle and trigger popup window;
    $('.popup-trigger').click(function(e) {
      e.stopPropagation();
      if (isfetched === false) {
        searchFunc(path, 'local-search-input', 'local-search-result');
      } else {
        proceedsearch();
      };
    });

    $('.popup-btn-close').click(onPopupClose);
    $('.popup').click(function(e){
      e.stopPropagation();
    });
    $(document).on('keyup', function (event) {
      var shouldDismissSearchPopup = event.which === 27 &&
        $('.search-popup').is(':visible');
      if (shouldDismissSearchPopup) {
        onPopupClose();
      }
    });
  </script>





  
  
  <script>
    
    function addCount(Counter) {
      var $visitors = $('.leancloud_visitors');
      var url = $visitors.attr('id').trim();
      var title = $visitors.attr('data-flag-title').trim();

      Counter('get', '/classes/Counter', { where: JSON.stringify({ url }) })
        .done(function({ results }) {
          if (results.length > 0) {
            var counter = results[0];
            
            Counter('put', '/classes/Counter/' + counter.objectId, JSON.stringify({ time: { '__op': 'Increment', 'amount': 1 } }))
            
              .done(function() {
                var $element = $(document.getElementById(url));
                $element.find('.leancloud-visitors-count').text(counter.time + 1);
              })
            
              .fail(function ({ responseJSON }) {
                console.log('Failed to save Visitor num, with error message: ' + responseJSON.error);
              })
          } else {
            
              Counter('post', '/classes/Counter', JSON.stringify({ title: title, url: url, time: 1 }))
                .done(function() {
                  var $element = $(document.getElementById(url));
                  $element.find('.leancloud-visitors-count').text(1);
                })
                .fail(function() {
                  console.log('Failed to create');
                });
            
          }
        })
        .fail(function ({ responseJSON }) {
          console.log('LeanCloud Counter Error: ' + responseJSON.code + ' ' + responseJSON.error);
        });
    }
    

    $(function() {
      $.get('https://app-router.leancloud.cn/2/route?appId=' + 'q2BU0OM2W8i5nARddHRKQOvm-gzGzoHsz')
        .done(function({ api_server }) {
          var Counter = function(method, url, data) {
            return $.ajax({
              method: method,
              url: 'https://' + api_server + '/1.1' + url,
              headers: {
                'X-LC-Id': 'q2BU0OM2W8i5nARddHRKQOvm-gzGzoHsz',
                'X-LC-Key': 'hLTPk12Jmt8atnC9cePjTwQH',
                'Content-Type': 'application/json',
              },
              data: data
            });
          };
          
            addCount(Counter);
          
        });
    });
  </script>



  

  
  

  
  

  
    
      <script type="text/x-mathjax-config">
  

  MathJax.Hub.Config({
    tex2jax: {
      inlineMath: [ ['$', '$'], ['\\(', '\\)'] ],
      processEscapes: true,
      skipTags: ['script', 'noscript', 'style', 'textarea', 'pre', 'code']
    },
    TeX: {
      
      equationNumbers: {
        autoNumber: 'AMS'
      }
    }
  });
  MathJax.Hub.Register.StartupHook('TeX Jax Ready', function() {
    MathJax.InputJax.TeX.prefilterHooks.Add(function(data) {
      if (data.display) {
        var next = data.script.nextSibling;
        while (next && next.nodeName.toLowerCase() === '#text') { next = next.nextSibling }
        if (next && next.nodeName.toLowerCase() === 'br') { next.parentNode.removeChild(next) }
      }
    });
  });
</script>

<script type="text/x-mathjax-config">
  MathJax.Hub.Queue(function() {
    var all = MathJax.Hub.getAllJax(), i;
    for (i = 0; i < all.length; i += 1) {
      document.getElementById(all[i].inputID + '-Frame').parentNode.className += ' has-jax';
    }
  });
</script>
<script src="//cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.5/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>

    
  


  

  

  

  

  
  
  
  <script src="/xieyuanhui/lib/needsharebutton/needsharebutton.js"></script>
  <script>
    
      pbOptions = {};
      
        pbOptions.iconStyle = "box";
      
        pbOptions.boxForm = "horizontal";
      
        pbOptions.position = "bottomCenter";
      
        pbOptions.networks = "Weibo,Wechat,Douban,QQZone,Twitter,Facebook";
      
      new needShareButton('#needsharebutton-postbottom', pbOptions);
    
    
      flOptions = {};
      
        flOptions.iconStyle = "box";
      
        flOptions.boxForm = "horizontal";
      
        flOptions.position = "middleRight";
      
        flOptions.networks = "Weibo,Wechat,Douban,QQZone,Twitter,Facebook";
      
      new needShareButton('#needsharebutton-float', flOptions);
    
  </script>


  

  

  

  

  

  


  
  <script type="text/javascript" src="//cdn.bootcss.com/canvas-nest.js/1.0.0/canvas-nest.min.js"></script><!-- hexo-inject:begin --><!-- Begin: Injected MathJax -->
<script type="text/x-mathjax-config">
  MathJax.Hub.Config({"tex2jax":{"inlineMath":[["$","$"],["\\(","\\)"]],"skipTags":["script","noscript","style","textarea","pre","code"],"processEscapes":true},"TeX":{"equationNumbers":{"autoNumber":"AMS"}}});
</script>

<script type="text/x-mathjax-config">
  MathJax.Hub.Queue(function() {
    var all = MathJax.Hub.getAllJax(), i;
    for(i=0; i < all.length; i += 1) {
      all[i].SourceElement().parentNode.className += ' has-jax';
    }
  });
</script>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js">
</script>
<!-- End: Injected MathJax -->
<!-- hexo-inject:end -->
  
</body>
</html>
